抽象代数(一)

映射

定义一

设$f:A\rightarrow B$为映射,如果存在$g:B\rightarrow A$使$gf=id_A$,则称$f$左可逆,$g$称为$f$的左逆,如果存在映射$g:B\rightarrow A$使$fg=id_B$,则称$f$右可逆,$g$称为$f$的右逆,若既左可逆($g_1$)又右可逆($g_2$),则称$f$可逆。

命题一

若$f$可逆则$g_1=g_2$,反之也成立

证明:若$f$可逆,即$g_1f=id_A,fg_2=id_B$,则

因此$f$可逆等价于存在映射$g:B\rightarrow A$使得$gf=id_A, fg=id_B$

此时$g$唯一,记为$f^{-1}$

反之,若$g_1=g_2$,则显然$f$可逆

命题二

  • $f$为单射等价于$f$左可逆
  • $f$为满射等价于$f$右可逆
  • $f$为双射等价于$f$可逆

证明:

① 若$f$左可逆,则存在映射$g:B\rightarrow A$使得$gf=id_A$

设$a、b\in A$使得$f(a) = f(b)$,则

因此有

也即$a = b$,因此$f$为单射

反之,若$f:A\rightarrow B$为单射,定义$g:B\rightarrow A$如下:

$\forall b\in B$,若有$a\in A$使得$f(a)=b$

由于$f$是单射,因此$a$唯一,定义$g(b)=a$,如果不存在$a\in A$使得$f(a)=b$

如果不存在$a\in A$使得$f(a)=b$,则令$g(b) = a_0$,其中$a_0$为$A$中指定的元素,则$g$是$B$到$A$的映射且$gf=id_A$,因此$f$左可逆

② 若$f$为满射,则$\forall b\in B, f^{-1}(b) = \{a\in A:f(a)=b\}$非空

令$a\in f^{-1}(b)$,定义$g(b)=a$

则$g$是$B$到$A$的映射且$fg=id_B$,即$f$右可逆

反之若有$g$使得$fg = id_B$,则

且$g(b) \in A$,因此$f$满射

③ 由①②综合可得

命题三

设$f: A\rightarrow B, g:B\rightarrow C$为映射,则

  • 若$f$与$g$都是单射,则$gf$也是
  • 若$f$与$g$都是满射,则$gf$也是
  • 若$f$与$g$都是双射,则$gf$也是

证明:(只证前两条)

若$f$与$g$都是单射,则由命题二有

因此$gf$是单射

若$f$与$g$都是满射,则任意$c\in C$,由于$g$是到上(满射)的,存在$b\in B$使得$g(b)=c$,同理存在$a\in A$使得$f(a)=b$,由此:

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